양자 얽힘

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1. 개요

양자 얽힘은 두 개 이상의 입자가 서로 강하게 연관되어, 한 입자의 상태를 알면 다른 입자의 상태를 즉시 알 수 있는 현상이다. 이는 아인슈타인-포돌스키-로젠 역설을 통해 제기되었으며, 벨 부등식 실험을 통해 자연계가 국소 숨은 변수 이론으로 설명될 수 없다는 것이 밝혀졌다. 양자 얽힘은 얽힌 상태와 분리 가능한 상태로 정의되며, 양자 정보 과학에서 양자 텔레포테이션, 초고밀도 부호화 등 다양한 응용 분야에 활용된다. 얽힘의 정도는 얽힘 엔트로피, 얽힘 형성 등으로 측정하며, 자발적 파라메트릭 하향 변환과 같은 방법으로 생성할 수 있다. 얽힘은 양자 컴퓨팅, 양자 암호화, 그리고 거시적 물체나 생명 시스템에서도 관찰되며, 양자 중력 이론 연구에도 중요한 역할을 한다.

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양자 얽힘
개요
정의	양자 얽힘은 두 개 이상의 입자들이 서로 연결되어, 한 입자의 양자 상태를 측정하는 즉시 다른 입자의 상태가 즉각적으로 결정되는 현상이다.
특징	거리와 상관없이 즉각적인 상관관계를 보인다. 고전적인 물리로는 설명할 수 없는 현상이다. 양자 정보 과학의 핵심 자원이다.
역사 및 이론적 배경
최초 언급	1935년 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키, 나탄 로젠의 논문(물리적 실재에 대한 양자역학적 기술이 완전하다고 할 수 있는가?)에서 'Spooky action at a distance' (원거리에서 일어나는 기이한 작용) 라는 용어로 처음 언급됨.
용어 도입	에르빈 슈뢰딩거가 1935년 분리된 시스템 간의 확률 관계 논의 논문에서 'Verschränkung' (얽힘) 이라는 단어를 사용함.
벨 부등식	존 스튜어트 벨이 1964년에 양자 얽힘이 국소 실재론과 모순됨을 보이는 벨 부등식을 제시함. 양자 얽힘이 실제로 존재함을 확인.
실험적 검증
초기 실험	1967년 C. A. 코커와 E.D. 커민스가 원자 캐스케이드에서 방출되는 광자의 편광 상관관계를 관측함.
장거리 얽힘	2012년 양자 순간이동 실험에서 기록적인 거리에서 얽힘이 확인됨.
루프홀 없는 실험	2015년 Hensen et al. 연구진이 1.3km 떨어진 전자 스핀에서 루프홀 없는 벨 부등식 위반을 증명함.
양자 얽힘의 종류
광자 얽힘	편광, 경로, 모드 등의 자유도를 이용한 얽힘.
전자 스핀 얽힘	전자의 스핀을 이용한 얽힘.
분자 얽힘	분자의 진동 또는 회전 모드를 이용한 얽힘.
거시적 얽힘	거시적인 크기의 물체에서도 얽힘이 가능하다는 연구 결과가 있음. (거시적 다이아몬드의 얽힘)
중첩 얽힘	중첩된 상태의 얽힘.
응용 분야
양자 정보	양자 컴퓨터, 양자 암호 통신, 양자 순간이동 등의 핵심 기술
양자 센서	고감도 측정 기술
양자 이미징	양자 기술을 이용한 영상 처리
오해와 진실
초광속 통신	양자 얽힘은 정보 전달에 사용될 수 없으므로, 초광속 통신은 불가능함. 얽힘을 이용한 초광속 통신은 불가능하다
정보 전송	얽힌 입자 중 하나의 상태를 측정하면 다른 입자의 상태가 즉시 결정되지만, 이는 정보를 전송하는 데 사용될 수 없음.
현재 연구 동향
얽힘 생성 기술	더 효율적이고 안정적인 얽힘 생성 기술 개발 연구 진행 중. 재구성 가능한 광학 트위저 배열에서 분자의 얽힘 연구
다양한 입자 얽힘	광자, 전자, 분자, 거시적 물체 등 다양한 입자 간의 얽힘을 연구함. 톱 쿼크에서 양자 얽힘 관측
양자 컴퓨터 활용	양자 얽힘을 이용한 양자 컴퓨터 개발 및 성능 향상 연구 활발히 진행 중.
추가 정보
관련 링크	양자 얽힘은 현실이 국소적일 수 없음을 보여준다 양자 순간이동이 기록적인 거리에서 이루어짐 원거리 "기이한 작용"의 속도 제한 존 스튜어트 벨의 "말할 수 있고 말할 수 없는 양자역학" 아인슈타인, 양자 연구는 '기이한 작용'이 현실임을 시사한다

2. 역사적 배경

알베르트 아인슈타인과 닐스 보어는 양자역학의 의미에 대한 오랜 학문적 논쟁을 벌였는데, 이는 보어-아인슈타인 논쟁으로 알려져 있다. 1931년에 아인슈타인이 제기한 상자 사고 실험은 양자 얽힘 현상에 대한 초기 인식이었다.^[17]

1935년 5월 4일자 ''뉴욕 타임스''의 EPR 역설 관련 기사 제목

1935년, 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키, 네이선 로젠은 EPR 역설을 발표하며 양자역학의 불완전성을 주장했다. 같은 해, 에르빈 슈뢰딩거는 EPR 역설과 같은 상황을 설명하기 위해 "Verschränkung"(영어 "entanglement"로 번역)이라는 단어를 사용했고, 얽힘을 양자역학의 핵심적인 특성으로 정의했다.^[2] 아인슈타인은 얽힘의 효과를 "spukhafte Fernwirkung" ( 스푸키 액션 앳 어 디스턴스 )라고 불렀다.^[24]

1949년 우젠슝과 I. Shaknov는 전자- 양전자 소멸로 생성된 감마선 편광 쌍 실험을 통해 얽힌 입자쌍이 실험실에서 생성될 수 있음을 입증했다.^[28]

1964년 존 스튜어트 벨은 벨 부등식을 통해 국소적 숨은 변수 이론의 한계를 지적했고, 이후 여러 벨 검증 실험이 있었다. 1972년 스튜어트 프리드먼과 존 클라우저의 선구적인 연구^[31]와 1982년 알랭 아스페의 실험^[32]^[33]^[34]이 대표적이다.

1990년대 중반부터 안톤 차일링거는 파라메트릭 하향 변환을 통한 얽힘 생성을 사용하여 얽힘 교환^[39]을 개발하고 얽힌 광자를 이용한 양자 암호를 시연했다.^[40]^[41]

2022년, 알랭 아스페, 존 클라우저, 안톤 차일링거는 "얽힌 광자를 이용한 실험, 벨 부등식의 위반을 확립하고 양자 정보 과학을 개척한 공로"로 노벨 물리학상을 수상했다.^[42]

2. 1. EPR 역설과 벨 부등식

EPR 역설은 1935년 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키, 네이선 로젠이 발표한 사고 실험으로, 양자역학의 비국소적 현상을 보여준다.^[1] 이들은 양자역학과 유사한 현상을 예측하면서도 국소성 원리를 만족하는 숨은 변수 이론을 찾고자 했다.

존 스튜어트 벨은 1964년에 모든 숨은 변수 이론이 만족해야 하지만 양자역학은 만족하지 않는 벨 부등식을 유도했다.^[29] 실험 결과, 실제 물리 현상은 벨 부등식을 따르지 않는다는 것이 밝혀졌고,^[58]^[59]^[60] 이는 자연계가 숨은 변수 이론으로 기술될 수 없음을 의미한다.

데이비드 보옴이 제시한 EPR 역설의 변형에서는, 광원이 반대 방향으로 입자 쌍을 방출하며, 각 쌍의 상태는 얽혀 있다.^[54] 한 입자의 스핀을 측정하면 전체 쌍의 파동 함수가 붕괴되어 각 입자는 측정 축을 따라 명확한 스핀(위 또는 아래)을 갖게 된다. 결과는 무작위적이지만, 두 스핀을 같은 축을 따라 측정하면 서로 반대 방향으로 나타난다.^[48]^[55]

두 측정 사이의 간격이 공간적인 경우, 인과적 영향은 빛보다 빠른 속도로 이동해야 한다. 특수 상대성 이론에 따르면, 이는 불가능하므로, 두 측정 간의 상관관계는 한 측정이 다른 측정을 결정하는 것으로 설명할 수 없다.^[56]

국소 숨은 변수 이론은 서로 다른 축을 따라 얽힌 입자의 스핀을 측정할 때 실패한다. 여러 실험에서 벨 부등식이 만족되지 않음을 보여주었다.^[58]^[59]^[60] 또한, 움직이는 상대론적 기준 좌표계에서 얽힌 입자의 측정을 수행할 때, 각 측정이 다른 측정보다 먼저 발생하더라도 측정 결과는 상관관계를 유지한다.^[61]^[39]

서로 다른 축을 따라 스핀을 측정하는 것은 불확정성 원리에 의해 제한되므로, 얽힘은 근본적으로 비고전적인 현상이다. 벨 부등식 위배는 ''양자 비국소성''이라고도 불리지만, 이 용어는 논란의 여지가 있다.^[66]

3. 정의

브라-켓 표기법을 사용하면, 서로 상호작용하지 않는 두 부분계 A, B로 이루어진 전체 계에서, 각 부분계 상태의 텐서 곱으로 전체 계의 상태를 나타낼 수 없는 경우를 얽힌 상태라고 한다.

수학적으로, 분리가능한 상태는 세그레 매장의 치역이며, 그 여집합은 얽힌 상태이다.^[158]

3. 1. 순수 상태의 얽힘

브라-켓 표기법을 사용하자. 서로 상호작용하지 않는 두 부분계 A, B로 이루어진 전체 계를 생각하자. 전체 계의 힐베르트 공간은 A계와 B계의 힐베르트 공간의 텐서 곱이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

:

\mathcal H=\mathcal H_A \otimes\mathcal H_B

.

전체 계의 상태

|\psi\rangle\in\mathcal H

가운데 일부는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

|\psi\rangle=|\psi\rangle_A \otimes  |\psi\rangle_B

, 여기서 (

|\psi_A\rangle\in\mathcal H_A

,

|\psi_B\rangle\in\mathcal H_B

).

이렇게 두 부분계의 상태의 텐서 곱으로 나타내어진 상태는 '''분리가능한 상태'''(separable state^영어)라고 말한다. 반대로, 전체 계의 상태 가운데 이와 같이 두 부분계의 상태의 텐서 곱으로 나타낼 수 없는 상태를 '''얽힌 상태'''(entangled state^영어)라고 한다.

부분계 A와 부분계 B로 구성된 복합계를 생각해 보자. 부분계 A의 순수 상태를

|\phi_A\rangle

, 부분계 B의 순수 상태를

|\phi_B\rangle

로 나타내기로 한다. 어떤

|\phi_A\rangle

,

|\phi_B\rangle

를 사용하더라도 복합계의 순수 상태

|\psi\rangle

를

|\psi\rangle = |\phi_A\rangle \otimes |\phi_B\rangle

의 형태로 나타낼 수 없을 때,

|\psi\rangle

는 얽힘 상태라고 한다. 여기서

\otimes

는 텐서곱이다.

예를 들어, 다음과 같은 상태는 (

|\psi\rangle_A

와

|\psi'\rangle_A

가 평행하지 않고,

|\psi\rangle_B

와

|\psi'\rangle_B

가 평행하지 않을 때) 일반적으로 얽힌 상태다.

:

|\psi\rangle_A\otimes|\psi\rangle_B+|\psi'\rangle_A\otimes|\psi'\rangle_B\in\mathcal H

. (

|\psi\rangle_A,|\psi'\rangle_A\in\mathcal H_A

,

|\psi\rangle_B,|\psi'\rangle_B\in\mathcal H_B

)

수학적으로, 양자역학적 상태는 힐베르트 공간

\mathcal H

의 반직선으로 이루어진 사영 힐베르트 공간

P(\mathcal H)

의 원소다. 두 부분계의 상태의 텐서 곱

P(\mathcal H_A)\times P(\mathcal H_B)\to P(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B)

을 나타내는 함수를 '''세그레 매장'''(Segrè embedding/mapping^영어)이라고 한다. 따라서 분리가능한 상태는 세그레 매장의 치역이고, 그 여집합은 얽힌 상태다.^[158]

두 개의 임의적인 양자 시스템 A와 B를 생각해 보자. 각각의 시스템은 힐베르트 공간 H_A와 H_B를 갖는다. 합성 시스템의 힐베르트 공간은 텐서곱

H_A \otimes H_B

이다.

첫 번째 시스템이 상태

| \psi \rangle_A

에 있고 두 번째 시스템이 상태

| \phi \rangle_B

에 있다면, 합성 시스템의 상태는

|\psi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_B

이다. 이 형태로 나타낼 수 있는 합성 시스템의 상태를 분리 가능 상태 또는 직적 상태라고 한다.

모든 상태가 분리 가능 상태인 것은 아니다. H_A에 대한 기저

\{|i \rangle_A\}

와 H_B에 대한 기저

\{|j \rangle_B\}

를 고정하자.

H_A \otimes H_B

에서 가장 일반적인 상태는 다음과 같은 형태이다.

:

|\psi\rangle_{AB} = \sum_{i,j} c_{ij} |i\rangle_A \otimes |j\rangle_B

c_{ij}= c^A_i c^B_j

인 벡터

[c^A_i], [c^B_j]

가 존재한다면 이 상태는 분리 가능하다. 이는

|\psi\rangle_A = \sum_{i} c^A_{i} |i\rangle_A

와

|\phi\rangle_B = \sum_{j} c^B_{j} |j\rangle_B

를 의미한다. 어떤 벡터

[c^A_i],[c^B_j]

에 대해서도 적어도 하나의 좌표쌍

c^A_i,c^B_j

에서

c_{ij} \neq c^A_ic^B_j

인 경우, 이 상태는 분리 불가능하다. 상태가 분리 불가능하면, 이를 '얽힘 상태'라고 한다.

예를 들어, H_A의 두 기저 벡터

\{|0\rangle_A, |1\rangle_A\}

와 H_B의 두 기저 벡터

\{|0\rangle_B, |1\rangle_B\}

가 주어지면, 다음은 얽힘 상태이다.

:

\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \right ).

합성 시스템이 이 상태에 있다면, 시스템 A 또는 시스템 B 어느 하나에도 명확한 순수 상태를 부여할 수 없다. 다른 말로 하면, 전체 상태의 폰 노이만 엔트로피는 (모든 순수 상태에서와 같이) 0이지만, 하부 시스템의 엔트로피는 0보다 크다는 것이다. 이러한 의미에서 시스템은 "얽혀 있다". 이것은 간섭계측에 특정한 경험적 영향을 미친다.^[73] 위의 예는 네 개의 벨 상태 중 하나이며, 이들은 (최대로) 얽힌 순수 상태이다(

H_A \otimes H_B

공간의 순수 상태이지만, 각 H_A와 H_B의 순수 상태로 분리될 수 없다).

이제 앨리스가 시스템 A에 대한 관찰자이고 밥이 시스템 B에 대한 관찰자라고 가정하자. 위에서 주어진 얽힘 상태에서 앨리스가 A의

\

3. 2. 혼합 상태의 얽힘

부분계 A와 부분계 B의 혼합 상태를 나타내는 밀도 행렬을 텐서곱으로 표현할 수 없는 복합계의 혼합 상태를 얽힘 상태라고 한다.일반적으로, 양자계의 상태는 힐베르트 공간의 단위 벡터로 주어지지만, 계에 대한 정보가 부족한 경우 '앙상블'이라고 부르며, 밀도 행렬로 기술한다. 밀도 행렬은 상태 공간이 무한 차원일 때 양의 준정부호 행렬 또는 트레이스 클래스이며, 트레이스가 1이다. 이러한 밀도 행렬은 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.:

\rho = \sum_i w_i |\alpha_i\rangle \langle\alpha_i|,

여기서 ''w''_''i''는 양의 값을 갖는 확률(합이 1)이고, 벡터는 단위 벡터이며, 무한 차원의 경우 트레이스 노름에서 이러한 상태들의 폐포를 취한다.는

w_i

가 상태가

|\alpha_i\rangle

인 앙상블의 비율인 앙상블을 나타낸다. 혼합 상태의 계수가 1일 때는 '순수 앙상블'을 나타낸다.

이부분 합성계의 경우, 혼합 상태는

H_A \otimes H_B

에 대한 밀도 행렬이며, 다음과 같은 일반적인 형태를 갖는다.

:

\rho =\sum_{i} w_i\left[\sum_{j} \bar{c}_{ij} (|\alpha_{ij}\rangle\otimes|\beta_{ij}\rangle)\right]\left[\sum_k c_{ik} (\langle\alpha_{ik}|\otimes\langle\beta_{ik}|)\right]

여기서 ''w''_''i''는 양의 값을 갖는 확률이고,

\sum_j |c_{ij}|^2=1

이며, 벡터는 단위 벡터이다.

혼합 상태는 다음과 같이 쓸 수 있는 경우 분리 가능하다고 한다.^[74]

:

\rho = \sum_i w_i \rho_i^A \otimes \rho_i^B,

여기서

w_i

는 양의 값을 갖는 확률이고,

\rho_i^A

와

\rho_i^B

는 각각 하부 시스템 A와 B에 대한 혼합 상태(밀도 연산자)이다. 즉, 상태가 상관되지 않은 상태 또는 곱 상태에 대한 확률 분포인 경우 상태가 분리 가능하다. 그렇지 않으면 얽힘 상태라고 한다.

부분계 A와 부분계 B로 구성되는 복합계를 생각할 때, A, B의 혼합 상태를 밀도 행렬

\hat \rho_A

,

\hat \rho_B

로 나타낸다. 복합계의 혼합 상태

\hat \rho_{AB}

가

:

\hat \rho_{AB} = \sum_i p_i \hat \rho_A^{(i)}\otimes\hat \rho_B^{(i)}

의 형태로 나타낼 수 없을 때, 혼합 상태

\hat \rho_{AB}

는 얽힘 상태이다.

일반적으로 혼합 상태가 얽혀 있는지 아닌지 확인하는 것은 어려운 것으로 간주되며, 일반적인 이부분 경우는 NP-hard인 것으로 나타났다.^[75] 2 × 2 및 2 × 3 경우의 분리 가능성에 대한 필요충분 조건은 양의 부분 전치(PPT) 조건으로 주어진다.^[76]

4. 예제

A와 B가 각각 두 개의 상태 $|0\rangle$ 과 $|1\rangle$ 을 가질 수 있는 계(two-state system)를 생각해보자. 전자의 스핀이 그 예시가 될 수 있다. 이때, 다음과 같은 상태는 얽혀 있다.

: $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \right)$ .

이 상태에서 A의 스핀을 측정하면, 다음 두 가지 결과 중 하나가 50%:50% 확률로 나타난다.

# A의 스핀을 0으로 측정하면, 계의 상태는 $|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B$ 로 바뀐다.

# A의 스핀을 1로 측정하면, 계의 상태는 $|1\rangle_A\otimes |0\rangle_B$ 로 바뀐다.

만약 A의 스핀을 0으로 측정했다면, 그 뒤에 B의 스핀을 측정하면 항상 1을 얻는다. 반대로 A의 스핀을 1로 측정했다면, B의 스핀을 측정하면 항상 0을 얻는다. 하지만 A의 스핀을 먼저 측정하지 않고 B의 스핀을 측정하면 B는 50%:50% 확률로 0 또는 1을 얻는다.

이에 따라, A의 스핀 측정이 B의 스핀 측정에 영향을 주는 것처럼 보인다. 이는 A와 B가 공간적으로 매우 멀리 떨어져 있어도 마찬가지이다. 이것은 EPR 역설의 한 형태이다. 하지만 얽힘 현상을 이용해 먼 거리 사이에 정보를 전송할 수는 없다. A를 측정하여 어떤 결과를 얻을지 알 수 없기 때문이다.

만약 스핀의 상태를 복제할 수 있다면 정보를 전달하는 방법을 생각해 볼 수도 있다. 하지만 양자역학적 상태는 복제 불가능 정리(no-cloning theorem)에 의해 정확히 복제할 수 없으므로, 이러한 정보 전달 방법은 불가능하다.

두 개의 임의적인 양자 시스템 A와 B를 생각할때, 각각의 시스템은 힐베르트 공간 H_A와 H_B를 갖는다. 합성 시스템의 힐베르트 공간은 텐서곱 $H_A \otimes H_B$ 이다.

첫 번째 시스템이 상태 $| \psi \rangle_A$ 에 있고 두 번째 시스템이 상태 $| \phi \rangle_B$ 에 있다면, 합성 시스템의 상태는 $|\psi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_B$ 이다. 이 형태로 나타낼 수 있는 합성 시스템의 상태를 분리 가능 상태 또는 직적 상태라고 한다.

모든 상태가 분리 가능 상태인 것은 아니다. H_A에 대한 기저 $\{|i \rangle_A\}$ 와 H_B에 대한 기저 $\{|j \rangle_B\}$ 를 고정하면, $H_A \otimes H_B$ 에서 가장 일반적인 상태는 다음과 같다.

$|\psi\rangle_{AB} = \sum_{i,j} c_{ij} |i\rangle_A \otimes |j\rangle_B$

$c_{ij}= c^A_i c^B_j$ 인 벡터 $[c^A_i], [c^B_j]$ 가 존재한다면 이 상태는 분리 가능하다. 이는 $|\psi\rangle_A = \sum_{i} c^A_{i} |i\rangle_A$ 와 $|\phi\rangle_B = \sum_{j} c^B_{j} |j\rangle_B$ 를 의미한다. 어떤 벡터 $[c^A_i],[c^B_j]$ 에 대해서도 적어도 하나의 좌표쌍 $c^A_i,c^B_j$ 에서 $c_{ij} \neq c^A_ic^B_j$ 인 경우, 이 상태는 분리 불가능하다. 상태가 분리 불가능하면, 이를 '얽힘 상태'라고 한다.

예를 들어, H_A의 두 기저 벡터 $\{|0\rangle_A, |1\rangle_A\}$ 와 H_B의 두 기저 벡터 $\{|0\rangle_B, |1\rangle_B\}$ 가 주어지면, 다음은 얽힘 상태이다.

$\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \right ).$

합성 시스템이 이 상태에 있다면, 시스템 A 또는 시스템 B 어느 하나에도 명확한 순수 상태를 부여할 수 없다. 즉, 전체 상태의 폰 노이만 엔트로피는 0이지만, 하부 시스템의 엔트로피는 0보다 크다. 이러한 의미에서 시스템은 "얽혀 있다".^[73] 위의 예는 네 개의 벨 상태 중 하나이며, 최대로 얽힌 순수 상태이다.

앨리스가 시스템 A, 밥이 시스템 B에 대한 관찰자라고 가정하면, 앨리스가 A의 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 고유 기저에서 측정을 한다면, 동일한 확률로 두 가지 가능한 결과가 있다. 앨리스가 결과 0을 얻으면, 밥의 결과가 1이 될 것이라고 예측할 수 있다. 앨리스가 결과 1을 얻으면, 밥의 결과가 0이 될 것이라고 예측할 수 있다. 즉, 두 큐비트에 대한 측정 결과는 완벽하게 반상관관계를 가진다. 시스템 A와 B가 공간적으로 분리되어 있더라도 마찬가지이다. 이것이 EPR 역설의 기초이다.^[80]

앨리스의 측정 결과는 무작위이므로, 합성 시스템을 어떤 상태로 붕괴시킬지 결정할 수 없으며, 따라서 자신의 시스템에 작용하여 밥에게 정보를 전송할 수 없다. 따라서 통신 불가능 정리에 의해 인과율이 보존된다.

스핀 1/2를 갖는 두 입자 A, B로 이루어진 계에서, 두 입자가 특정 시간동안 상호작용을 한 후 특정 시각에 계 전체의 상태가 다음과 같이 표현된다고 하자.

$|\psi\rangle = \frac$

4. 1. 스핀 단일 상태의 상관 관계

두 전자의 총 스핀이 0인 스핀 단일 상태(singlet state^영어)는 양자 얽힘의 대표적인 예시이다. 스핀 단일 상태는 다음과 같이 표현된다.^[48]:

|\text{singlet}\rangle=\frac1{\sqrt2}\left(|\hat z +\rangle_A \otimes |\hat z -\rangle_B - |\hat z -\rangle_A \otimes |\hat z +\rangle_B\right)

여기서

|\hat z +\rangle

와

|\hat z -\rangle

는 각각 z 방향으로 스핀 업(+)과 스핀 다운(-) 상태를 나타내며, 아래 첨자 A와 B는 각각 두 전자를 나타낸다.

이 상태에서 A 전자의 스핀을 측정하면, 다음 두 가지 결과 중 하나가 50% 확률로 나타난다.

# A의 스핀을 +로 측정하면, 계의 상태는

|\hat z +\rangle_A \otimes |\hat z -\rangle_B

로 바뀐다.

# A의 스핀을 -로 측정하면, 계의 상태는

|\hat z -\rangle_A \otimes |\hat z +\rangle_B

로 바뀐다.

즉, A 전자의 스핀 측정 결과에 따라 B 전자의 스핀 상태가 결정된다. A 전자의 스핀을 +로 측정하면 B 전자의 스핀은 항상 -가 되고, A 전자의 스핀을 -로 측정하면 B 전자의 스핀은 항상 +가 된다.

이는 고전적인 상관관계와 유사해 보일 수 있다. 예를 들어, 흰색 공과 검은색 공이 들어 있는 항아리에서 공을 하나씩 꺼내는 경우를 생각해 보자. 앨리스가 흰색 공을 꺼내면 밥은 항상 검은색 공을 꺼내게 된다. 하지만 양자 얽힘은 스핀의 방향성 때문에 더 복잡하다.

스핀 단일 상태는 x 방향이나 y 방향의 스핀 고유 상태로도 표현할 수 있다.

:

|\text{singlet}\rangle = \frac1{\sqrt2} \left( |\hat x +\rangle_A \otimes |\hat x -\rangle_B - |\hat x -\rangle_A \otimes |\hat x +\rangle_B \right) = \frac1{\sqrt2} \left( |\hat y +\rangle_A \otimes |\hat y -\rangle_B - |\hat y -\rangle_A \otimes |\hat y +\rangle_B \right)

만약 A 전자의 x 방향 스핀을 측정하고 B 전자의 z 방향 스핀을 측정하면, B 전자의 z 방향 스핀은 +와 -가 무작위로 나타난다. A 전자의 x 방향 스핀 측정 결과에 관계없이 B 전자의 z 방향 스핀은 50% 확률로 + 또는 -가 된다. 이는 A 전자의 x 방향 스핀을 측정하면 계의 상태가

|\hat x +\rangle_A \otimes |\hat x -\rangle_B

또는

|\hat x -\rangle_A \otimes |\hat x +\rangle_B

로 붕괴하기 때문이다.

결과를 정리하면 다음과 같다.

A와 B가 같은 방향의 스핀을 측정하면, 두 측정은 100% 반대 방향의 상관관계를 갖는다.
A와 B가 서로 수직한 다른 방향의 스핀을 측정하면, 두 측정 사이의 상관관계는 없다.
A의 스핀을 측정하지 않으면, B는 측정 방향에 상관없이 무작위 결과를 내놓는다.

이를 표로 나타내면 다음과 같다.

A의 측정 결과	B의 측정 결과
>\hat z +\rangle_A	>\hat z -\rangle_B
>\hat z -\rangle_A	>\hat z +\rangle_B
>\hat x +\rangle_A	>\hat x -\rangle_B
>\hat x -\rangle_A	>\hat x +\rangle_B
>\hat z +\rangle_A	>\hat x +\rangle_B
>\hat z +\rangle_A	>\hat x -\rangle_B
>\hat z -\rangle_A	>\hat x +\rangle_B
>\hat z -\rangle_A	>\hat x -\rangle_B
>\hat x +\rangle_A	>\hat z +\rangle_B
>\hat x +\rangle_A	>\hat z -\rangle_B
>\hat x -\rangle_A	>\hat z +\rangle_B
>\hat x -\rangle_A	>\hat z -\rangle_B

이처럼 B의 측정 결과는 A에 행해진 측정 방법에 따라 달라지는 것처럼 보인다. 이는 양자역학적 측정이 단순히 기존 상태를 확인하는 것이 아니라, 계의 상태를 변화시키기 때문이다. A의 z 방향 스핀 성분을 +로 측정하면, 계의 상태는 $|\hat z +\rangle_A \otimes |\hat z -\rangle_B$ 로 바뀐다. 즉, 계의 일부분을 측정해도 계 전체의 상태가 바뀐다.

5. 양자 얽힘의 비국소적 상관관계

데이비드 보옴이 제시한 EPR 역설의 한 변형에 따르면, 광원에서 방출된 입자들이 반대 방향으로 이동할 때, 각 쌍을 설명하는 상태는 얽혀 있다.^[54] 한 입자의 스핀을 측정하면 전체 쌍의 파동 함수가 붕괴되어 각 입자는 측정 축을 따라 명확한 스핀(위 또는 아래)을 갖게 된다. 결과는 무작위적이며 각 가능성은 50%의 확률을 갖는다. 그러나 두 스핀을 같은 축을 따라 측정하면 서로 반대 방향으로 상관관계가 나타난다. 즉, 한 입자에 대한 측정 결과가 다른 입자에 전달된 것처럼 보여, 측정될 때 "올바른 선택"을 할 수 있게 된다.^[48]^[55]

측정 사이의 간격이 공간적이 되도록 거리와 시간을 선택할 수 있다. 따라서 인과적 영향이 두 사건을 연결하려면 빛보다 빠른 속도로 이동해야 한다. 특수 상대성 이론에 따르면, 두 측정 사건 사이에는 어떤 정보도 이동할 수 없다. 어떤 측정이 먼저 일어났는지조차 말할 수 없다. 공간적으로 분리된 두 사건 x₁과 x₂에 대해, x₁이 먼저 일어나는 관성계와 x₂가 먼저 일어나는 관성계가 존재한다. 따라서 두 측정 간의 상관관계는 한 측정이 다른 측정을 결정하는 것으로 설명할 수 없다. 다른 관찰자는 인과 관계의 역할에 대해 의견이 다를 수 있다.^[56]

숨은 변수를 가정하여 양자 이론이 불완전하며 측정 결과가 미리 결정된 "숨은 변수"에 의존한다고 설명할 수도 있다.^[57] 측정되는 입자의 상태에는 숨은 변수가 포함되어 있으며, 이 변수의 값은 분리되는 순간부터 스핀 측정 결과를 효과적으로 결정한다. 이는 각 입자가 필요한 모든 정보를 가지고 있으며, 측정 시점에 한 입자에서 다른 입자로 정보를 전달할 필요가 없다는 것을 의미한다.

그러나 국소 숨은 변수 이론은 서로 다른 축을 따라 얽힌 입자의 스핀을 측정할 때 실패한다. 여러 실험에서 벨 부등식이 만족되지 않음을 보여주었다.^[58]^[59]^[60] 움직이는 상대론적 기준 좌표계에서 얽힌 입자를 측정할 때, 각 측정(고유한 상대론적 시간 좌표계에서)이 다른 측정보다 먼저 발생하더라도 측정 결과는 상관관계를 유지한다.^[61]^[39]

서로 다른 축을 따라 스핀을 측정하는 것은 불확정성 원리에 의해 제한되는 비양립 가능하기 때문에 동시에 명확한 값을 가질 수 없다. 이는 고전 물리학과 반대되는 것이다. 수학적으로 양립 가능한 측정은 벨 부등식 위반 상관관계를 보일 수 없다는 것이 증명되었으며,^[62] 따라서 얽힘은 근본적으로 비고전적인 현상이다.

벨 부등식 위배를 생성하기 위해서는 양자 얽힘이 필요하다. 그러나 베르너 상태와 같이 얽힘을 나타내지만 국소적 숨은 변수 모델을 허용하여 벨 부등식 위배를 일으킬 수 없는 경우도 존재한다.^[64]

벨 부등식의 위배는 ''양자 비국소성''이라고도 불리지만, 이 용어는 논란의 여지가 있다.^[66]

스핀 1/2를 갖는 두 입자 A, B로 이루어진 계를 예로 들어보자. 두 입자는 특정 시간 동안 상호작용 한 후, 계 전체의 상태는 다음과 같이 표현된다.

: $|\psi\rangle = \frac$

6. 양자 얽힘의 응용

양자 정보 이론에서 얽힘 상태는 생성 비용이 많이 들고 귀중한 변환을 가능하게 하는 '자원'으로 간주된다.^[78]^[79] 이러한 관점은 "원격 실험실" 설정에서 가장 분명하게 나타난다. 즉, 각각 임의의 양자 연산을 수행할 수 있지만 양자 역학적으로 서로 상호 작용하지 않는 "A"와 "B"라는 두 개의 양자 시스템이 있을 때, 이들 간의 유일한 상호 작용은 고전적 정보 교환이다. 이는 가장 일반적인 국소 양자 연산과 결합하여 LOCC(국소 연산과 고전적 통신)라고 하는 연산 클래스를 생성한다. 이러한 연산은 시스템 A와 B 사이에 얽힘 상태를 생성할 수 없다. 그러나 A와 B에 얽힘 상태가 주어지면 LOCC 연산과 함께 더 큰 변환 클래스를 가능하게 할 수 있다.얽힘 상태는 LOCC만 사용할 수 있는 설정에서 양자 상호 작용(또는 양자 채널)을 실현할 수 있게 하지만, 그 과정에서 소모된다. 얽힘을 자원으로 볼 수 있는 다른 응용 프로그램으로는 개인 통신이나 양자 상태 구별 등이 있다.^[106]양자 얽힘은 양자 정보 이론에서 많은 응용 분야를 가지며, 양자 얽힘을 이용하면 불가능하다고 여겨졌던 작업들을 수행할 수 있다. 대부분의 연구자들은 양자 컴퓨팅을 실현하는 데 양자 얽힘이 필요하다고 생각한다.^[96] 양자 텔레포테이션, 초고밀도 부호화, 양자 암호 등이 그 예시이다.2014년 8월, 비엔나 대학교의 브라질 연구원 Gabriela Barreto Lemos와 연구팀은 대상 물체와 상호 작용하지 않은 광자, 즉 대상 물체와 상호 작용한 광자와 양자 얽힘 상태에 있는 광자를 이용하여 물체의 "사진을 찍는" 데 성공했다.^[101] 이 아이디어는 적외선에 민감하지 않은 표준 카메라만을 사용하여 적외선 이미지를 만드는 데 적용되었다.^[102]

6. 1. 양자 텔레포테이션

양자 얽힘과 classical information|고전 정보^영어 통신을 이용하여 멀리 떨어진 곳에 quantum state|양자 상태^영어를 전송하는 기술이다.^[80]^[106]^[81] 앨리스와 밥이 얽힘 상태를 공유하는 경우를 예로 들 수 있다. 앨리스는 자신의 실험실에 있는 양자 상태

|\Psi\rangle

를 밥에게 전화 통화를 통해 재현하는 방법을 알려줄 수 있다. 앨리스는

|\Psi\rangle

와 자신이 가지고 있는 얽힘 상태의 일부분에 대해 공동 측정을 수행하고, 그 결과를 밥에게 전달한다. 밥은 앨리스의 결과를 바탕으로 자신의 얽힘 상태 절반을

|\Psi\rangle

와 동일하게 조작한다. 이 과정에서 앨리스의 측정으로 인해 그녀의 실험실 시스템의 양자 상태는 필연적으로 지워진다. 따라서 상태

|\Psi\rangle

는 복사되는 것이 아니라 전송되는 것이다. 이러한 프로토콜을 통해 밥의 실험실로 "텔레포테이션"된다고 표현한다.^[80]^[106]^[81]

양자 정보 과제를 수행하는 데 사용되는 대표적인 예시이다. 양자 텔레포테이션은 양자 얽힘과 2비트의 고전 정보 통신을 이용하여 1양자 비트의 양자 상태를 전송한다.

6. 2. 초고밀도 부호화

양자 얽힘의 가장 잘 알려진 응용 분야 중 하나는 초고밀도 부호화이다.^[37] 초고밀도 부호화는 양자 얽힘과 1 양자 비트의 통신을 이용하여 2 비트의 고전 정보를 전송하는 것이다.

6. 3. 양자 암호

양자 얽힘은 양자 암호의 일부 프로토콜에 사용된다.^[97]^[98] 하지만 표준 가정 하에서 양자 키 분배(QKD)의 보안을 증명하는 데는 양자 얽힘이 필요하지 않다.^[99] 그러나 QKD의 ''장치 독립적'' 보안은 통신 파트너 간의 양자 얽힘을 이용하여 증명된다.^[100]

7. 양자 얽힘의 측정

양자 얽힘의 정도를 정량화하기 위해 다양한 얽힘 측정 방법이 사용된다. 얽힘의 정도를 나타내는 척도는 다음과 같다.

얽힘 엔트로피
얽힘 형성
얽힘의 상대 엔트로피
컨커런스
증류 가능한 얽힘
압축된 얽힘
로그 네가티비티

이러한 얽힘 척도의 대부분(전부는 아님)은 순수 상태에 대해 얽힘 엔트로피로 축소되며, 얽힌 시스템의 차원이 커짐에 따라 혼합 상태에 대해 계산하기 어렵다(NP-hard).^[95]

8. 양자 얽힘의 생성

양자 얽힘은 주로 아원자 입자 간의 직접적인 상호작용을 통해 만들어진다. 이러한 상호작용은 여러 형태를 띨 수 있다. 가장 널리 쓰이는 방법 중 하나는 편광이 얽힌 광자 쌍을 만들기 위한 자발적 파라메트릭 하향 변환이다.^[106]^[107] 다른 방법으로는 광자를 제한하고 섞기 위한 섬유 커플러의 사용, 양자점에서 이중 여기자의 붕괴 캐스케이드에서 나오는 광자,^[108] 또는 홍-오-만델 효과의 사용이 있다. 입자와 그 반입자(예: 전자와 양전자)의 양자 얽힘은 하디 간섭계에서 해당 양자 파동 함수의 부분적 중첩을 통해 만들어질 수 있다.^[109]^[110] 벨의 정리에 대한 최초의 검증에서는 원자 캐스케이드를 써서 얽힌 입자들을 만들었다.^[31]

얽힘 교환을 이용하면 직접 상호작용한 적이 없는 양자 시스템 사이에서도 얽힘을 만들 수 있다. 두 개의 독립적으로 준비된 동일한 입자는 அவற்றின் 파동 함수가 적어도 부분적으로 공간적으로 겹치는 경우에도 얽힐 수 있다.^[111]

9. 얽힘 상태

이론 및 실험에서 자주 사용되는 몇 가지 대표적인 얽힘 상태가 있다.

두 큐비트의 경우, 벨 상태는 다음과 같다.

: $|\Phi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B \pm |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B)$

: $|\Psi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B \pm |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B).$

이 네 가지 순수 상태는 모두 (얽힘 엔트로피에 따라) 최대 얽힘 상태이며, 두 큐비트의 힐베르트 공간의 직교 기저를 형성한다. 이들은 벨 정리에서 기본적인 역할을 한다.

M개의 큐비트에 대해, GHZ 상태는 다음과 같다.

: $|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|0\rangle^{\otimes M} + |1\rangle^{\otimes M}}{\sqrt{2}},$

이는 M=2인 경우 벨 상태 $|\Phi^+\rangle$ 로 축소된다. 전통적인 GHZ 상태는 M=3에 대해 정의되었다. GHZ 상태는 때때로 큐디트(즉, 2차원이 아닌 ''d''차원의 시스템)로 확장된다.

또한 M개의 큐비트에 대해, 스핀 측정의 불확실성에 대한 특정 제약 조건을 만족하는 스핀 압축 상태라는 압축 코히어런트 상태의 클래스가 있는데, 이는 필연적으로 얽혀 있다.^[103] 스핀 압축 상태는 양자 얽힘을 사용하여 정밀 측정을 향상시키는 데 적합한 후보이다.^[104]

두 보손 모드의 경우, NOON 상태는 다음과 같다.

: $|\psi_\text{NOON} \rangle = \frac$

10. 양자 시스템의 얽힘 검증

밀도 행렬 ρ가 곱 상태의 볼록 합으로 표현될 수 있으면 분리 가능하다고 하며, 그렇지 않으면 얽힘 상태이다.2큐비트 및 큐비트-쿼트릿 시스템(각각 2 × 2 및 2 × 3)의 경우, 간단한 페레스-호로데츠키 기준이 분리 가능성에 대한 필요 충분 조건을 제공하며, 얽힘을 검출하는 기준이 된다. 그러나 일반적인 경우, 이 기준은 분리 가능성에 대한 필요 조건일 뿐이며, 일반화하면 문제가 NP-hard가 된다.^[112]^[113] 다른 분리 가능성 기준에는 범위 기준, 축소 기준, 그리고 불확정성 원리를 기반으로 하는 기준 등이 있다.^[114]^[115]^[116]^[117]욘 마그네 레이나스, 얀 미르하임 및 에이리크 오브룸은 "얽힘의 기하학적 측면"이라는 논문에서 이 문제에 대한 수치적 접근 방식을 제안했다.^[120]연속 변수 시스템에서도 페레스-호로데츠키 기준이 적용된다. 특히, Simon^[121]은 정준 연산자의 2차 모멘트 측면에서 페레스-호로데츠키 기준의 특정 버전을 공식화하고, 이것이

1\oplus1

모드 가우시안 상태에 대해 필요 충분 조건임을 보였다. 나중에 Simon의 조건이

1\oplus n

모드 가우시안 상태에 대해서도 필요 충분 조건이지만,

2\oplus2

모드 가우시안 상태에는 더 이상 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다.^[123] Simon의 조건은 정준 연산자의 고차 모멘트를 고려하거나^[124]^[125] 엔트로피 측정값을 사용하여 일반화할 수 있다.^[126]^[127]

2016년 8월 16일, 세계 최초의 양자 통신 위성인 우주 규모의 양자 실험(QUESS) 임무의 "묵자"가 중국의 주취안 위성 발사센터에서 발사되었다. 이 위성은 지구와 우주 간의 양자 통신의 실현 가능성을 입증하고 전례 없는 거리에서 양자 얽힘을 테스트하기 위한 것이었다.^[128] 2017년 6월 16일 ''Science''지에 게재된 보고서에 따르면, 1,203km의 새로운 양자 얽힘 거리 기록을 세웠으며, 이전 광섬유 실험에 비해 전송 효율이 10배 향상되었다.^[129]^[130]

2023년, LHC는 양자 토모그래피 기술을 이용하여 지금까지 가장 높은 에너지에서 얽힘을 측정했다.^[131]^[132]^[133] ATLAS 검출기를 사용한 이 실험은 탑쿼크 쌍 생성의 스핀을 측정했으며, 5σ 이상의 유의미한 수준으로 효과가 관찰되었다. 탑쿼크는 강입자화를 거치기 전에 붕괴되는 유일한 쿼크이며, 스핀 상관관계 해소 전에 붕괴되므로 스핀 정보는 검출기에서 포착될 렙톤 붕괴 생성물로 거의 손실 없이 전달된다.^[135] 입자의 스핀 편극 및 상관관계를 측정하고 결합도와 페레스-호로데츠키 기준을 사용하여 얽힘을 검증했다. 그 후 CMS 검출기에서도 이 효과가 확인되었다.^[136]^[137]

11. 거시적 물체의 양자 얽힘

2020년 연구진은 밀리미터 크기의 기계적 진동자의 운동과 원자 구름의 멀리 떨어진 다른 스핀 시스템 사이의 양자 얽힘을 보고했다.^[146]^[147] 후속 연구는 두 개의 기계적 진동자를 양자 얽힘 상태로 만드는 연구를 통해 이를 보완했다.^[148]^[149]^[150]

12. 생명 시스템 요소의 양자 얽힘

2018년 10월, 물리학자들은 살아있는 유기체, 특히 살아있는 세균 내 광합성 분자와 광자(Photon) 사이에서 양자 얽힘을 생성했다고 보고했다.^[151]^[152]

녹색 황세균은 상호 작용하지 않는 광 모드 간의 양자 얽힘을 생성하는 매개체로 연구되었으며, 빛과 세균 모드 간의 높은 얽힘, 그리고 어느 정도는 세균 내부의 얽힘까지 보여주었다.^[153]

13. 양자 중력에서의 양자 얽힘

휠러-드윗 방정식은 우주의 상태가 시간이 없는 정적 상태라고 예측하지만, 이는 우리의 일반적인 경험과 상반된다.^[138] 돈 페이지와 윌리엄 우터스의 연구는^[139]^[140]^[141] 진화하는 시스템과 시계 시스템 간의 에너지 얽힘 때문에 우주 내부의 관찰자에게 우주가 진화하는 것처럼 보인다는 것을 시사한다.^[138] 이러한 방식으로 전체 시스템은 시간이 없이 유지될 수 있지만, 부분은 얽힘을 통해 시간을 경험한다. 이 문제는 양자 중력 이론에 대한 시도와 밀접하게 관련된 미해결 문제로 남아 있다.^[142]^[143]

반 드 시터 공간이라는 (비현실적인) 모델 공간에서 AdS/CFT 대응을 통해 양자 중력 시스템을 중력이 없는 양자장 이론과 관련지을 수 있다.^[144] 마크 반 라암스돈크는 이 대응 관계를 사용하여 시공간이 얽혀 있고 시공간 경계에 존재하는 양자 자유도의 출현 현상으로 나타난다고 제안했다.^[145]

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